Théorème de la boule chevelue
Les images et vidéos stéréoscopiques croisées de ce site permettent la vision en relief, et demandent seulement un léger entraînement de la part de l'observateur. L'oeil gauche doit regarder la figure droite et l'oeil droit doit regarder la figure gauche. Pour cela, on peut fermer d'abord son oeil gauche puis placer sa main droite à quelques centimètres de son oeil droit de façon à lui cacher la figure droite. De même, on ferme l'oeil droit et on place la main gauche à quelques centimètres de son oeil gauche de façon à lui cacher la figure gauche. Les deux yeux étant ouverts, chacun d'eux ne voit qu'une figure. On louche quelque part dans l'intervalle entre les deux mains pour faire superposer les deux figures en une figure unique. Avec un peu d'entraînement, le cerveau finit au bout de quelques secondes à une minute par accommoder la vision sur une figure nette en relief.
La paramétrisation de la sphère par les coordonnées sphériques (i.e. par la longitude et la latitude) présente deux points singuliers que sont les pôles. En ces deux points, l’un des deux paramètres (la longitude) n’est pas défini. Il est possible de définir un paramétrage de la sphère qui ne laisse plus qu’un seul point singulier. Pour cela, on prend un point P de la sphère (qu’on peut appeler pôle, mais qui sera unique). On prend le plan équatorial, passant par le centre O de la sphère et perpendiculaire au rayon OP. On prend un repère Oxy orthonormé de ce plan. On repère tout point M de ce plan par son abscisse x et son ordonnée y. On projette M sur la sphère en un point N par projection stéréographique : N est l’intersection de la sphère avec la droite (PM). On attribue à N les paramètres (x, y) du point M qui lui est associé. Tous les points de la sphère, sauf le pôle P, sont ainsi définis bijectivement par les couples (x, y) de réels. Le pôle, point singulier, est obtenu en faisant tendre x ou y (ou les deux) vers l’infini.
La première figure ci-dessus représente la projection sur la sphère d’un quadrillage du plan équatorial.
La deuxième figure représente la projection sur la sphère de vecteurs unitaires du plan équatorial tous parallèles à Ox. Ces vecteurs projetés forment un champ de vecteurs tangents à la sphère, dont la norme diminue au fur et à mesure qu’on s’approche du pôle, jusqu’à s’y annuler. Cette deuxième figure illustre le théorème de la boule chevelue : il est impossible de définir continûment un champ de vecteurs non nuls tangents à la sphère. Le champ de vecteurs doit s’annuler en au moins un point.
Dans les deux cas, la sphère centrale a été réduite afin de laisser voir les lignes de champ ou les vecteurs tangents en arrière-plan. Les deux animations qui suivent correspondent aux deux figures.
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