Graphe de Cayley de S4 (I)
Les images et vidéos stéréoscopiques croisées de ce site permettent la vision en relief, et demandent seulement un léger entraînement de la part de l'observateur. L'oeil gauche doit regarder la figure droite et l'oeil droit doit regarder la figure gauche. Pour cela, on peut fermer d'abord son oeil gauche puis placer sa main droite à quelques centimètres de son oeil droit de façon à lui cacher la figure droite. De même, on ferme l'oeil droit et on place la main gauche à quelques centimètres de son oeil gauche de façon à lui cacher la figure gauche. Les deux yeux étant ouverts, chacun d'eux ne voit qu'une figure. On louche quelque part dans l'intervalle entre les deux mains pour faire superposer les deux figures en une figure unique. Avec un peu d'entraînement, le cerveau finit au bout de quelques secondes à une minute par accommoder la vision sur une figure nette en relief.
L’octaèdre tronqué, le cube tronqué et le rhombicuboctaèdre sont des polyèdres semi-réguliers ayant tous 24 sommets. 24 est également le nombre de façons de ranger quatre objets dans un ordre quelconque. Ces 24 rangements forment le groupe symétrique S4. Ce n’est pas une coïncidence. Chacun de ces polyèdres correspond à un graphe de Cayley du groupe, propre à des systèmes générateurs différents.
L’octaèdre tronqué s’obtient en prenant comme système générateur les transpositions (1 2), (2 3) et (3 4). Dans la figure précédente ou l’animation suivante, chaque sommet du polyèdre correspond à une des permutations des quatre objets auxquels on a attribué un numéro de 1 à 4. Le graphe de Cayley donnant l’octaèdre tronqué se construit de la façon suivante. Si on passe d’une permutation à une autre en permutant les deux numéros de rang 1 et 2, on dessine une arête bleue entre les deux sommets correspondants. Si c’est en permutant les numéros de rang 2 et 3, on dessine une arête rouge, et si c’est un permutant les numéros de rang 3 et 4, on dessine une arête verte. Le fait qu’on puisse passer d’un sommet quelconque à un autre par une suite d’arêtes est une preuve qu’on peut ranger quatre objets quelconques dans n’importe quel ordre en utilisant plusieurs fois de suite les permutations des objets de rang 1 et 2, ou de rang 2 et 3 ou de rang 3 et 4. C’est une preuve que le groupe symétrique S4 est engendré par les transpositions (1 2), (2 3), et (3 4).
On trouvera d’autres graphes de Cayley de S4 en consultant les pages Graphe de Cayley de S4 (II), Graphe de Cayley de S4 (III) ou Graphe de Cayley de S4 (IV).
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