Graphe de Cayley du produit semi-direct Z/3Z ⋊ D4

Les images et vidéos stéréoscopiques croisées de ce site permettent la vision en relief, et demandent seulement un léger entraînement de la part de l'observateur. L'oeil gauche doit regarder la figure droite et l'oeil droit doit regarder la figure gauche. Pour cela, on peut fermer d'abord son oeil gauche puis placer sa main droite à quelques centimètres de son oeil droit de façon à lui cacher la figure droite. De même, on ferme l'oeil droit et on place la main gauche à quelques centimètres de son oeil gauche de façon à lui cacher la figure gauche. Les deux yeux étant ouverts, chacun d'eux ne voit qu'une figure. On louche quelque part dans l'intervalle entre les deux mains pour faire superposer les deux figures en une figure unique. Avec un peu d'entraînement, le cerveau finit au bout de quelques secondes à une minute par accommoder la vision sur une figure nette en relief.

On présente ici le graphe de Cayley du produit semi-direct du groupe cyclique Z/3Z d’ordre 3 par le groupe diédral D₄, noté Z/3Z ⋊ D₄. Si on note multiplicativement la loi du groupe cyclique d’ordre 3, celui-ci est engendré par un élément a vérifiant a³ = 1. Le groupe diédral D₄, quant à lui, est engendré par deux éléments b et c vérifiant b⁴ = 1, c² = 1, et cb = b^-1c. On peut voir b comme une rotation vectorielle plane d’un quart de tour, et c comme une réflexion par rapport à une droite vectorielle du même plan. Le produit semi-direct entre Z/3Z et D₄ se traduit par les règles supplémentaires ca = ac, et ba = a^-1b (pour un simple produit direct, on aurait pris Z/3Z commutant avec D₄, soit ba = ab et ca = ac). Ces règles permettent de représenter les 24 éléments de Z/3Z ⋊ D₄ sous la forme a^kb^l ou a^kb^lc, avec k variant de 0 à 2 et l de 0 à 3.

Dans la figure précédente ou l’animation suivante, chaque sommet jaune du graphe correspond à un élément du groupe. Le graphe de Cayley est construit de la façon suivante. Si on passe d’un élément à un autre par une multiplication à droite par a, on dessine une arête fléchée rouge. Si c’est en multipliant à droite par b, on dessine une arête fléchée bleue claire. Si c’est en multipliant à droite par c, l’arête est verte (sans orientation car c^-1 = c). Le graphe obtenu est constitué de deux tores, les sommets du premier tore étant reliés aux sommets du second par les arêtes vertes. Seul le plus petit tore est représenté en grisé.

Un autre exemple de produit semi-direct d’ordre 24 est donné par Z/3Z ⋊ Z/8Z, dont le graphe de Cayley est bien plus simple.

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