On présente ici le graphe de Cayley du produit semi-direct du groupe cyclique Z/3Z d’ordre 3 par le groupe diédral D4, noté Z/3Z ⋊ D4. Si on note multiplicativement la loi du groupe cyclique d’ordre 3, celui-ci est engendré par un élément a vérifiant a3 = 1. Le groupe diédral D4, quant à lui, est engendré par deux éléments b et c vérifiant b4 = 1, c2 = 1, et cb = b-1c. On peut voir b comme une rotation vectorielle plane d’un quart de tour, et c comme une réflexion par rapport à une droite vectorielle du même plan. Le produit semi-direct entre Z/3Z et D4 se traduit par les règles supplémentaires ca = ac, et ba = a-1b (pour un simple produit direct, on aurait pris Z/3Z commutant avec D4, soit ba = ab et ca = ac). Ces règles permettent de représenter les 24 éléments de Z/3Z ⋊ D4 sous la forme akbl ou akblc, avec k variant de 0 à 2 et l de 0 à 3.
Dans la figure précédente ou l’animation suivante, chaque sommet jaune du graphe correspond à un élément du groupe. Le graphe de Cayley est construit de la façon suivante. Si on passe d’un élément à un autre par une multiplication à droite par a, on dessine une arête fléchée rouge. Si c’est en multipliant à droite par b, on dessine une arête fléchée bleue claire. Si c’est en multipliant à droite par c, l’arête est verte (sans orientation car c-1 = c). Le graphe obtenu est constitué de deux tores, les sommets du premier tore étant reliés aux sommets du second par les arêtes vertes. Seul le plus petit tore est représenté en grisé.
Un autre exemple de produit semi-direct d’ordre 24 est donné par Z/3Z ⋊ Z/8Z, dont le graphe de Cayley est bien plus simple.
