Rotations (123) du cube

Les images et vidéos stéréoscopiques croisées de ce site permettent la vision en relief, et demandent seulement un léger entraînement de la part de l'observateur. L'oeil gauche doit regarder la figure droite et l'oeil droit doit regarder la figure gauche. Pour cela, on peut fermer d'abord son oeil gauche puis placer sa main droite à quelques centimètres de son oeil droit de façon à lui cacher la figure droite. De même, on ferme l'oeil droit et on place la main gauche à quelques centimètres de son oeil gauche de façon à lui cacher la figure gauche. Les deux yeux étant ouverts, chacun d'eux ne voit qu'une figure. On louche quelque part dans l'intervalle entre les deux mains pour faire superposer les deux figures en une figure unique. Avec un peu d'entraînement, le cerveau finit au bout de quelques secondes à une minute par accommoder la vision sur une figure nette en relief.

Les rotations du cube sont les rotations de l'espace qui laissent globalement invariant le cube. Ces rotations forment un groupe de 24 éléments, noté O⁺(Cube) isomorphe au groupe S₄ des permutations d'un ensemble à quatre éléments, par exemple {Rouge, Bleu, Jaune, Vert}. La permutation identité correspond à la rotation identité. Les autres permutations sont du type :

(12) : transposition de deux éléments, par exemple (Rouge Bleu)
(12)(34) : produit de deux telles transpositions disjointes, par exemple (Rouge Vert)(Bleu Jaune)
(123) : permutation circulaire de trois éléments, par exemple (Rouge Bleu Vert)
(1234) : permutation circulaire de quatre éléments, par exemple (Rouge Bleu Jaune Vert)

Dans le cas du groupe O(Tetraèdre) des isométries du tétraèdre, lui aussi isomorphe au groupe S₄ des permutations d'un ensemble à quatre éléments, les éléments permutés sont simplement les sommets du tétraèdre. Mais dans le cas des rotations du cube, quelles sont les quatre objets permutés ? Ce sont les quatre diagonales du cube, représentées ci-dessus par leurs seuls sommets de même couleur.

Ainsi, une permutation circulaire (123) des quatre éléments est associée à un tiers de tour dont l’axe est une diagonale du cube. Dans la figure ci-dessus, le disque est inclus dans le plan orthogonal à l’axe. Il existe 8 tels tiers de tours.
Pour les autres rotations, voir les pages Cube-12, Cube-12-34 et Cube-1234.

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