Isométries indirectes (1234) du cube

Les images et vidéos stéréoscopiques croisées de ce site permettent la vision en relief, et demandent seulement un léger entraînement de la part de l'observateur. L'oeil gauche doit regarder la figure droite et l'oeil droit doit regarder la figure gauche. Pour cela, on peut fermer d'abord son oeil gauche puis placer sa main droite à quelques centimètres de son oeil droit de façon à lui cacher la figure droite. De même, on ferme l'oeil droit et on place la main gauche à quelques centimètres de son oeil gauche de façon à lui cacher la figure gauche. Les deux yeux étant ouverts, chacun d'eux ne voit qu'une figure. On louche quelque part dans l'intervalle entre les deux mains pour faire superposer les deux figures en une figure unique. Avec un peu d'entraînement, le cerveau finit au bout de quelques secondes à une minute par accommoder la vision sur une figure nette en relief.

Les isométries indirectes du cube sont les isométries indirectes de l'espace qui laissent globalement invariant le cube. Chacune de ces isométries indirectes peut s'obtenir par la composition (commutative) de la symétrie S_O par rapport au centre du cube et d'une rotation du cube. Comme il y a 24 rotations du cube, il y a 24 isométries indirectes, portant à 48 le nombre total d'isométries du cube.

L'ensemble des 24 isométries indirectes du cube ne forme pas un groupe avec la composée des applications, mais en devient un avec la loi de composition suivante, notée # : pour toutes isométries indirectes u et v, u # v = u ∘ v ∘ S_O. Notons O^-(Cube) le groupe ainsi obtenu. Il est isomorphe au groupe O⁺ des rotations du cube par l'intermédiaire de l'application qui, à toute rotation u associe l'isométrie indirecte u ∘ S_O, ainsi qu'au groupe S₄ des permutations de quatre éléments, les quatre éléments permutés étant les diagonales du cube. La permutation identité correspond à la rotation identité. Les autres permutations sont du type :

(12) : transposition de deux éléments, par exemple (Rouge Bleu)
(12)(34) : produit de deux telles transpositions disjointes, par exemple (Rouge Vert)(Bleu Jaune)
(123) : permutation circulaire de trois éléments, par exemple (Rouge Bleu Vert)
(1234) : permutation circulaire de quatre éléments, par exemple (Rouge Bleu Jaune Vert)

Ainsi, une permutation circulaire du type (1234) est associée à la composée d’une rotation d’un quart de tour d’axe passant par les centres de deux faces opposées et d’une symétrie par rapport au plan passant par le centre du cube et orthogonal à l’axe. Il existe 6 telles composées.
Pour les autres isométries indirectes, voir les pages Cube-ind-12, Cube-ind-12-34 et Cube-ind-123.

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