Rotations du dodécaèdre
Les images et vidéos stéréoscopiques croisées de ce site permettent la vision en relief, et demandent seulement un léger entraînement de la part de l'observateur. L'oeil gauche doit regarder la figure droite et l'oeil droit doit regarder la figure gauche. Pour cela, on peut fermer d'abord son oeil gauche puis placer sa main droite à quelques centimètres de son oeil droit de façon à lui cacher la figure droite. De même, on ferme l'oeil droit et on place la main gauche à quelques centimètres de son oeil gauche de façon à lui cacher la figure gauche. Les deux yeux étant ouverts, chacun d'eux ne voit qu'une figure. On louche quelque part dans l'intervalle entre les deux mains pour faire superposer les deux figures en une figure unique. Avec un peu d'entraînement, le cerveau finit au bout de quelques secondes à une minute par accommoder la vision sur une figure nette en relief.
Le groupe des rotations du dodécaèdre est isomorphe au groupe alterné A5 des permutations paires de 5 objets. Pour le voir, on répartit les 30 arêtes du dodécaèdre en 5 sous-ensembles de 6 arêtes chacune, chaque sous-ensemble se voyant attribuer une couleur. Il suffit alors de vérifier que toute rotation laissant globalement invariant le dodécaèdre correspond à une permutation paire des 5 couleurs, et réciproquement, que toute permutation paire correspond à une rotation.
Plus précisément, une rotation d’axe passant par les centres de deux faces opposées correspond à une permutation circulaire des 5 couleurs ; une rotation d’axe passant par deux sommets diamétralement opposés correspond à une permutation circulaire de trois couleurs ; une demi-tour d’axe passant par les milieux de deux arêtes opposées correspond au produit de deux transpositions.
Dans les images ci-dessus, parviendrez-vous à déterminer la rotation et la permutation paire faisant passer de la première image à chacune des suivantes, vous permettant de vérífier les propriétés précédemment énoncées ? Les animations ci-dessous visualisent la réponse à cette question, pour chaque type de rotation ou de permutation paire.
Par dualité entre l’icosaèdre et le dodécaèdre, on dispose du même théorème pour l’icosaèdre.
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