Problème des douze sphères (I)
Les images et vidéos stéréoscopiques croisées de ce site permettent la vision en relief, et demandent seulement un léger entraînement de la part de l'observateur. L'oeil gauche doit regarder la figure droite et l'oeil droit doit regarder la figure gauche. Pour cela, on peut fermer d'abord son oeil gauche puis placer sa main droite à quelques centimètres de son oeil droit de façon à lui cacher la figure droite. De même, on ferme l'oeil droit et on place la main gauche à quelques centimètres de son oeil gauche de façon à lui cacher la figure gauche. Les deux yeux étant ouverts, chacun d'eux ne voit qu'une figure. On louche quelque part dans l'intervalle entre les deux mains pour faire superposer les deux figures en une figure unique. Avec un peu d'entraînement, le cerveau finit au bout de quelques secondes à une minute par accommoder la vision sur une figure nette en relief.
En 1694, une tradition rapporte qu'une polémique opposa Isaac Newton à David Gregory sur la question suivante : combien de sphères de rayon 1 peut-on disposer de façon qu'elles soient tangentes à une sphère centrale, elle-même de rayon 1 ? Gregory pensait qu'on pouvait en disposer treize, alors que Newton pensait que le maximum possible était douze. C'est Newton qui a raison, bien que l'angle solide sous lequel on voit une sphère tangente à la sphère centrale depuis le centre de cette dernière soit un peu plus de 1/15 de l'angle solide de l'espace tout entier. Plusieurs démonstrations en ont été données : Bender et Hoppe en 1874, Günther en 1875, Schütte et Van der Waerden en 1953, Leech en 1956.
On trouvera ci-dessus une représentation de douze sphères disposées selon les sommets d’un icosaèdre centré sur la sphère centrale. On peut voir aussi une variante où les sphères sont disposées selon les sommets d’un cuboctaère.
On notera que, dans le cas de la disposition en icosaèdre, les douze sphères ne sont pas tangentes entre elles. Elles ont donc la possibilité de se déplacer, comme le montre la deuxième vidéo, et on peut ainsi passer de la disposition en cuboctaèdre à la position en icosaèdre, et même légèrement au delà.
Si on augmente légèrement le rayon de la sphère centrale, alors la disposition de treize sphères devient possible.
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