Hyper-24-Cell
Les images et vidéos stéréoscopiques croisées de ce site permettent la vision en relief, et demandent seulement un léger entraînement de la part de l'observateur. L'oeil gauche doit regarder la figure droite et l'oeil droit doit regarder la figure gauche. Pour cela, on peut fermer d'abord son oeil gauche puis placer sa main droite à quelques centimètres de son oeil droit de façon à lui cacher la figure droite. De même, on ferme l'oeil droit et on place la main gauche à quelques centimètres de son oeil gauche de façon à lui cacher la figure gauche. Les deux yeux étant ouverts, chacun d'eux ne voit qu'une figure. On louche quelque part dans l'intervalle entre les deux mains pour faire superposer les deux figures en une figure unique. Avec un peu d'entraînement, le cerveau finit au bout de quelques secondes à une minute par accommoder la vision sur une figure nette en relief.
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En dimension 3, il existe cinq polyèdres réguliers, connus depuis Platon : le tétraèdre, l’octaèdre, le cube, le dodécaèdre et l’icosaèdre. En dimension 4, on parle de 4-polytopes. Il existe six 4-polytopes convexes réguliers, cinq d’entre eux étant les généralisations directes des cinq polyèdres réguliers, mais il en existe un sixième n’ayant pas d’équivalent en dimension 3. Comment les visualiser ? Puisqu’on peut représenter les polyèdres tridimensionnels en les représentant par un dessin plan, on peut aussi représenter les 4-polytopes par un dessin plan. Il suffit pour cela d’utiliser une projection sur un plan parallèlement à un plan supplémentaire. Mais la vision stéréoscopique permet également de représenter un 4-polytope en le projetant dans un espace de dimension 3 parallèlement à une droite supplémentaire. C’est ce que nous faisons dans l’image stéréoscopique ci-dessus.
On représente ici le polytope 24-cell (ou icositétrachore), spécifique à la dimension 4, projeté dans R3. Il possède 24 sommets. A similitude près, on peut construire un 24-cell de façon que chaque sommet ait deux coordonnées nulles et les deux autres qui valent 1 ou -1. Dans la première figure ci-dessus, les 24 sommets ne sont pas tous visibles car 6 d’entre eux sont en parfait alignement avec 6 autres. On peut répartir l’ensemble de ces 24 sommets en trois sous-ensembles formés des sommets de trois hyperoctaèdres, la réunion de deux quelconques d’entre eux donnant un hypercube. Les arêtes du 24-cell sont les arêtes de ces hypercubes. Dans la deuxième figure ci-dessus, ainsi que dans l’animation ci-dessous, on a représenté par trois couleurs différentes les sommets des trois hyperoctaèdres. En considérant les arêtes joignant les sommets de deux couleurs quelconques parmi ces trois, le lecteur devrait pouvoir reconnaître un hypercube. Le 24-cell doit son nom au fait qu’il possède 24 cellules tridimensionnelles, en forme d’octaèdres.
Dans un espace de dimension 4, on peut effectuer une rotation simultanément dans deux plans orthogonaux. C’est ce que nous faisons dans l’animation ci-dessous, l’une des vitesses de rotation étant double de l’autre. Le polytope semble se déformer, mais ce n’est qu’une illusion due à la projection que nous en faisons en dimension 3. En réalité, dans l’espace de dimension 4, le polytope reste rigide.
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