Hypertetraèdre
Les images et vidéos stéréoscopiques croisées de ce site permettent la vision en relief, et demandent seulement un léger entraînement de la part de l'observateur. L'oeil gauche doit regarder la figure droite et l'oeil droit doit regarder la figure gauche. Pour cela, on peut fermer d'abord son oeil gauche puis placer sa main droite à quelques centimètres de son oeil droit de façon à lui cacher la figure droite. De même, on ferme l'oeil droit et on place la main gauche à quelques centimètres de son oeil gauche de façon à lui cacher la figure gauche. Les deux yeux étant ouverts, chacun d'eux ne voit qu'une figure. On louche quelque part dans l'intervalle entre les deux mains pour faire superposer les deux figures en une figure unique. Avec un peu d'entraînement, le cerveau finit au bout de quelques secondes à une minute par accommoder la vision sur une figure nette en relief.
En dimension 3, il existe cinq polyèdres réguliers, connus depuis Platon : le tétraèdre, l’octaèdre, le cube, le dodécaèdre et l’icosaèdre. En dimension 4, on parle de 4-polytopes. Il existe six 4-polytopes convexes réguliers, cinq d’entre eux étant les généralisations directes des cinq polyèdres réguliers, mais il en existe un sixième n’ayant pas d’équivalent en dimension 3. Comment les visualiser ? Puisqu’on peut représenter les polyèdres tridimensionnels en les représentant par un dessin plan, on peut aussi représenter les 4-polytopes par un dessin plan. Il suffit pour cela d’utiliser une projection sur un plan parallèlement à un plan supplémentaire. Mais la vision stéréoscopique permet également de représenter un 4-polytope en le projetant dans un espace de dimension 3 parallèlement à une droite supplémentaire. C’est ce que nous faisons dans l’image stéréoscopique ci-dessus.
Le plus simple des 4-polytopes est l’hypertétraèdre ou pentachore. De même que le tétraèdre est construit à partir du triangle plan en ajoutant un point dans une troisième dimension, point qu’on relie aux trois sommets du triangle, l’hypertétraèdre est obtenu à partir du tétraèdre tridimensionnel en ajoutant un point dans une quatrième dimension, point qu’on relie aux quatre sommets du tétraèdre.
Dans un espace de dimension 4, on peut effectuer une rotation simultanément dans deux plans orthogonaux. C’est ce que nous faisons dans l’animation ci-dessous, l’une des vitesses de rotation étant double de l’autre. Le polytope semble se déformer, mais ce n’est qu’une illusion due à la projection que nous en faisons en dimension 3. En réalité, dans l’espace de dimension 4, le polytope reste rigide.
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