Isométries (1234) du tétraèdre

Les images et vidéos stéréoscopiques croisées de ce site permettent la vision en relief, et demandent seulement un léger entraînement de la part de l'observateur. L'oeil gauche doit regarder la figure droite et l'oeil droit doit regarder la figure gauche. Pour cela, on peut fermer d'abord son oeil gauche puis placer sa main droite à quelques centimètres de son oeil droit de façon à lui cacher la figure droite. De même, on ferme l'oeil droit et on place la main gauche à quelques centimètres de son oeil gauche de façon à lui cacher la figure gauche. Les deux yeux étant ouverts, chacun d'eux ne voit qu'une figure. On louche quelque part dans l'intervalle entre les deux mains pour faire superposer les deux figures en une figure unique. Avec un peu d'entraînement, le cerveau finit au bout de quelques secondes à une minute par accommoder la vision sur une figure nette en relief.

Les isométries du tétraèdre régulier sont les isométries de l'espace qui laissent globalement invariant le tétraèdre. Ces isométries forment un groupe de 24 éléments, noté O(Tetraèdre), isomorphe au groupe S₄ des permutations d'un ensemble à quatre éléments. En effet, chaque isométrie permute les quatre sommets du tétraèdre, et inversement, on peut montrer qu'une permutation quelconque des quatre sommets correspond à une isométrie du tétraèdre et une seule. Indiquons les sommets par leur couleur : Rouge, Bleu, Jaune ou Vert, ou par un chiffre variant de 1 à 4. La permutation identité correspond à l'isométrie identité. Les autres permutations sont du type :

(12) : transposition de deux éléments, par exemple (Rouge Bleu)
(12)(34) : produit de deux telles transpositions disjointes, par exemple (Rouge Vert)(Bleu Jaune)
(123) : permutation circulaire de trois éléments, par exemple (Rouge Bleu Vert)
(1234) permutation circulaire de quatre éléments, par exemple (Rouge Bleu Jaune Vert)

Une permutation circulaire (1234) des quatre éléments est la plus difficile à visualiser sous forme d’isométrie. C’est la composée d’un quart de tour d’axe passant par les milieux de deux arêtes opposées, et d’une réflexion par rapport au plan orthogonal à cet axe. Il y a 6 telles isométries.
Pour les autres isométries, voir les pages Tetraedre-12, Tetraedre-12-34 et Tetraedre-123.

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